Teoria dos conjuntos

Conjuntos

A teoria dos conjuntos foi desenvolvida por Georg Cantor em 1872, o seu conceito pode ser considerado um dos mais básicos da matemática. Para dar início à sua teoria, Cantor admitiu os conceitos primitivos de conjunto e de elemento, a ideia é a mesma de coleção.

Conjunto: representa uma coleção de objetos, geralmente representado por letras maiúsculas;
Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado por letras minúsculas;

Nos conjuntos, a ordem e a quantidade de vezes que os elementos estão listados não é relevante. 

Exemplos:

  1. Um curral com vacas é um conjunto e cada vaca é um elemento desse conjunto.
  2. Uma coleção de revistas é um conjunto e cada revista é um elemento desse conjunto.
  3. Os usuários cadastrados neste site são um conjunto e cada usuário é um elemento desse conjunto.

 

Formas de representação

Podemos representar um conjunto sob forma de uma tabela, escrevendo seus elementos entre chaves. separados por vírgula.

Exemplos:

V = {a, e, i, o, u}

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Os conjuntos normalmente são nomeados usando letras maiúsculas como A, B, C, X, Y, Z. Já os elementos de um conjunto costumam ser representados por letras minúsculas como por exemplo: a, b, c, d.

No exemplo acima, V é o conjunto formado pelas vogais do nosso alfabeto. O conjunto B é formado pelos números naturais entre 1 e 10. Perceba que i é elemento do conjunto V, mas não é elemento do conjunto B. Este fato pode ser representado por:

i pertence V (lê-se "i pertence a V")

i não pertence B (lê-se "i não pertence a B")

pertence (pertence)
não pertence (não pertence)

Uma maneira mais visual de representar conjuntos foi criada pelo matemático John Venn no século XIX e recebe o nome de diagramas de Venn em sua homenagem. Os elementos de um conjunto são representados por pontos interiores a uma região plana, limitada por uma linha fechada simples.

Exemplo:

Representação por diagramas de Veen

Uma terceira maneira de representar um conjunto é através da definição de uma propriedade comum a todos os elementos. Nesta representação, se for feito de forma descuidada, pode gerar problemas. O conjunto C pode ser descrito assim:

V = { x | x é vogal }

Lê-se "V é o conjunto de todos os elementos x que são vogais".

B = { x | x é um número inteiro tal que 0 < x < 11}

Lê-se "B é o conjunto de todos os elementos x que são um número inteiro tal que x é maior do que zero e menor do que onze".

Tipos de conjuntos

Conjunto unitário é todo conjunto formado por um único elemento.
Conjunto vazio é o conjunto que não possui elemento algum. Representa-se o vazio por vazioou por {}.
Um conjunto é finito quando podemos contar seus elementos e conseguimos chegar ao final da contagem.
Quando a quantidade de elementos de um conjunto não tem fim, sendo impossível contar todos seus elementos, o conjunto é chamado de infinito.

Quando estudamos a história da humanidade, o conjunto de todos os seres humanos que viveram ou vivem até hoje é chamado de conjunto universo.

Conjunto universo de um estudo é um conjunto ao qual pertencem todos os elementos desse estudo. Normalmente ele é representado pela letra U maiúscula.

Subconjunto

Consideremos o conjunto de todos os usuários cadastros no Estudejogando e chamaremos de E. Com os elementos de E podemos formar o conjunto H, dos homens, e o conjunto M, das mulheres. Dizemos que os conjuntos H e M são subconjuntos de E.

Sendo A e B dois conjuntos, diz-se que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A pertence a B.

A contido B (lê-se "A está contido em B") ou ainda, por:

B contémA (lê-se "B contém A").

O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

A subconjunto de B por diagrama de Veen

União de conjuntos

A união de dois conjuntos A e B, que indicaremos por A união B (lê-se "A união com B"), é o conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a A ou a B.

Em símbolos, temos:

A união B = { x | x pertence A ou x pertence B }

 

Representação de A união com B em diagrama de Veen

 

Interseção de conjuntos

A interseção de dois conjuntos A e B, que indicaremos por A interseção B (lê-se "A interseção com B"), é o conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a A e a B.

Em símbolos:

A interseção B = { x | x pertence A e x pertence B}

E = {2, 4, 6, 8, 10}, F = {10}, E interseção F = {10}

 

Dizemos que dois conjuntos são disjuntos se, e somente se, a interseção entre eles for o conjunto vazio. Por exemplo:

C = { 2, 4, 6, 8, 10} e D = {1, 3, 5, 7, 9} , C interseção D = {}

Representação de A interseção com B por diagrama de Veen

Conjunto diferença

A diferença de dois conjuntos A e B, nessa ordem, indicada por A - B, é o conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a A e não pertencem a B.

Em símbolos:

A - B = { x | x pertence A e x não pertence B}

E = {2, 4, 6, 8, 10}, F = {10}, E - F = {2, 4, 6, 8}

Diagrama de Veen representando A - B

Conjunto complementar

Sejam A e B dois conjuntos tais que A contido B. Chama-se "complementar de A em relação a B", que indicamos por complemento de A em relação a Bo conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a B e não pertecem a A.

Em símbolos:

A contido B <=> complemento de A em relação a B = { x | x pertence B e x não pertence A }

A contido B <=> complemento de A em relação a B = B - A.

A condição necessária e suficiente para que exista complemento de A em relação a Bé que A contido B. Caso contrário dizemos que não existe complemento de A em relação a B.

Diagrama de Veen, complemento de A em relação a B.

 

Seja

E = {2, 4, 6, 8, 10}

F = {10}.

Observe que F contido E.

O complementar de F em relação a E é o conjunto {2, 4, 6, 8}

 

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