Função

Produto Cartesiano

Quando estudamos o plano cartesiano, vimos o conceito de par ordenado. Agora com base nestes conceitos estudaremos o produto cartesiano.

Suponha que o Estudejogando.com.br tenha classificado as matérias de matemática e português em 3 categorias: básica (b), intermediária (i) e avançada (a).

Dessa forma podemos listas as disciplinas usando um conjunto D = {matemática, português}

Também podemos representar as categorias pelo conjunto C = {b, i, a}

Um estudante pode acessar uma disciplina em seguida uma categoria. As possibilidades de escolhas podem ser representadas pelos pares ordenados:

(matemática, b);  (matemática, i); (matemática, a); (português, b);  (português, i);  (português, a);

O conjunto formado por todos esses pares ordenados é chamado de “produto cartesiano do conjunto D pelo conjunto C”.

Sejam A e B conjuntos diferentes do vazio. Chama-se “produto cartesiano de A por B”, e indica-se por A x B, o conjunto cujos elementos são todos os pares ordenados (x,y), tais que x A e y  B.

Em símbolos, sendo A ≠ Ø e B ≠ Ø, temos:

A x B = {(x,y) | y A e y B}

No nosso exemplo, D = {matemática, português} e C = {b, i, a}, logo:

D x C = {(matemática, b), (matemática, i), (matemática, a), (português, b), (português, i), (português, a)}

 

Agora considere como exemplo os dois conjuntos abaixo:

A = {1, 2, 3}

B = {2, 3}

Então  A x B = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3) }

Este produto cartesiano pode ser representado na forma de digrama de flechas

Também pode-se representar o produto cartesiano no plano cartesiano. O conjunto de pontos determinados pelos pares ordenados de A x B é chamado de “gráfico cartesiano do produto A x B”. Para esta representação é necessário que os dados utilizados sejam numéricos.

Relação

Suponha que tenha sido realizado um estudo no site, analisando o jogo chamado “ditado” nos 3 primeiros dias do mês de fevereiro do ano passado. Neste estudo foram pesquisadas quais fases os usuários tinham dificuldades de passar. Considere o conjunto de dias A = {1, 2, 3} e o conjunto de fases disponíveis no jogo B = {1, 2, 3, 4}.

A tabela abaixo mostra quais fases os usuários pararam de jogar nestes 3 dias.

Relação de fases onde os jogadores pararam de jogar nos 3 primeiros dias de fevereiro
Dia Fase
1 1,2,4
2 2
3 Nenhuma fase

Através desta análise podemos definir uma relação do conjunto de dias com as fases de 3 formas:

Diagrama de flechas

Diagrama de flechas 1

Gráfico cartesiano

Diagrama de flechas 1

Conjunto de pares ordenados

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2,2)}

Perceba que R é um subconjunto do produto cartesiano A x B.

Dados dois conjuntos A e B, chama-se “relação R de A em B” todo subconjunto do produto cartesiano A x B
No nosso exemplo das fases do jogo do ditado, o conjunto A é denominado conjunto de partida da relação R e o conjunto B é chamado de contradomínio da relação R.
Os elementos de A que estão relacionados com os elementos de B são identificados como o conjunto domínio da relação R. É representado por D(R).

D(R) = {1, 2}

O conjunto que representa todos os elementos de B que estão relacionados com elementos de A através da relação R é chamado de conjunto imagem da relação R e indica-se por Im(R).

Im(R) = {1, 2, 4}

Função

Uma relação f de A em B é chamada de função se, e somente se, todo elemento de A está associado, através de f, a um único elemento de B.

A notação f: A  B é usada para indicar que f é função de A em B.

Sendo A o conjunto com elementos a e B o conjunto com elementos b, diz-se que a função f de A em B relaciona a cada elemento a, um único elemento b = f(a)

Veja na imagem abaixo exemplos de relações que são funções e que não são.

Referências

PAIVA, Manoel. Matemática. Volume 1.  São Paulo. 1ª edição. Editora Moderna, 1996.

Função .  Acessado em 19 de maio de 2014;

Produto Cartesiano  .  Acessado em 19 de maio de 2014;

 

 

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