O plano cartesiano

Plano Cartesiano

Embora o conceito de sistema de coordenadas já tenha sido utilizado por matemáticos como Apolônio de Perga, René Descates foi quem formalizou o conceito em sua obra Géométrie escrita em 1637.

Este sistema foi definido com o objetivo de localizar e definir pontos em um plano.

O sistema de coordenadas no plano cartesiano ou espaço cartesiano consiste em dois eixos perpendiculares entre si e que se cruzam no ponto O chamado de origem do sistema.

O eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas e é identificado pela letra x.

O eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas e é identificado pela letra y.

Estes dois eixos separam o plano em 4 regiões como mostra a figura abaixo.

 

plano cartesiano, quadrantes

 

Cada região é denominada quadrante e são enumeradas conforme o ilustrado. Todos os pontos do plano cartesiano que não são dos eixos coordenados pertencem a um dos quadrantes. Os pontos sobre os eixos não pertencem a nenhum quadrante.

Dado um ponto P qualquer neste plano, pode-se identificar sua posição procedendo-se da seguinte forma:

  • Traçar uma reta perpendicular ao eixo y que passa sobre o ponto P. O encontro desta reta com o eixo das ordenadas é a projeção ortogonal de P sobre y.
  • Procedendo da mesma forma com o eixo x, traçar uma reta perpendicular a este eixo que passa sobre o ponto P. O encontro desta reta com o eixo das abscissas é a projeção ortogonal de P sobre x.

 

Projeção ortogonal de um ponto no plano cartesiano.

 

Com os valores em x e y das projeções ortogonais do ponto P obtem-se as coordenadas deste ponto que definem sua posição.

Para definir um ponto de uma maneira mais prática utiliza-se comumente o par ordenado que é apresentada sob a forma:

P(projeção ortogonal de P em x, projeção ortogonal de P em y).

Na figura acima o par ordenado que define P é P(15, 8). Observe atentamente que o primeiro valor corresponde à projeção ortogonal em x e o segundo valor à projeção ortogonal em y. O ponto Q(8, 15) é diferente de P(15,8). Segue abaixo alguns exemplos de pares ordenados e a posição destes pontos no plano cartesiano.

A(3, 8)
B(8, 3)
C(5, 0)
D(-1, 1)
E(-5, 2)
F(-3, -3)
G(2, -9)

Pontos no plano cartesiano

 

 

Quadrantes dos pontos

Um ponto P pertence ao eixo das abscissas se, e somente se, sua ordenada for zero.
Um ponto Q pertence ao eixo das ordenadas se, e somente se, sua abscissa for zero.
Se uma das coordenadas do ponto P for igual a zero, então P não pertence a nenhum dos quadrantes

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